小约翰（德意志著名数学家）

　　小约翰个人简介

　　小约翰的成就遍布于数学的各个领域，在内蕴几何、数论、双曲几何、微分几何、超几何级数、复分析以及椭圆分析等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

　　小约翰幼时家境贫困，但聪明异常，1792年，在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。在那里，小约翰开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反法则”(Law of Quadratic Reciprocity)、“素数分布定理”(prime numer theorem)、及“算术几何平均”(arithmetic-geometric mean)。

　　小约翰部分贡献

　　1801年发表的《Disquisitiones Arithmeticae》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代。在这本书中，小约翰不仅把19世纪以前数论中的一系列孤立的结果予以系统的整理，给出了标准记号的和完整的体系，而且详细地阐述了他自己的成果，其中主要是同余理论、剩余理论以及型的理论。同余概念最早是由L.欧拉提出的，小约翰则首次引进了同余的记号并系统而又深入地阐述了同余式的理论，包括定义相同模的同余式运算、多项式同余式的基本定理的证明、对幂以及多项式的同余式的处理。19世纪20年代，他再次发展同余式理论，着重研究了可应用于高次同余式的互反法则，继二次剩余之后，得出了三次和双二次剩余理论。此后，为了使这一理论更趋简单，他将复数引入数论，从而开创了复整数理论。小约翰系统化并扩展了型的理论。他给出型的等价定义和一系列关于型的等价定理，研究了型的复合(乘积)以及关于二次和三次型的处理。1830年，小约翰对型和型类所给出的几何表示，标志着数的几何理论发展的开端。在《Disquisitiones Arithmeticae》中他还进一步发展了分圆理论，把分圆问题归结为解二项方程的问题，并建立起二项方程的理论。后来N.H.阿贝尔按小约翰对二项方程的处理，着手探讨了高次方程的可解性问题。小约翰在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反法则的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。

　　小约翰在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证明。小约翰的方法不是去计算一个根，而是证明它的存在。这个方式开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径。他曾先后四次给出这个定理的证明，在这些证明中应用了复数，并且合理地给出了复数及其代数运算的几何表示，这不仅有效地巩固了复数的地位，而且使单复变函数的理论的建立更为直观、合理。

　　在复分析方面，小约翰提出了不少单复变函数的基本概念，著名的柯西积分定理(复变函数沿不包括奇点的闭曲线上的积分为零)，也是小约翰在1811年首先提出并加以应用的。复函数在数论中的深入应用，又使小约翰发现椭圆函数的双周期性，开创椭圆积分这一重大的领域;但与双曲几何一样，关于椭圆函数他生前未发表任何文章。1812年，小约翰发表了在分析方面的重要论文《无穷级数的一般研究》，其中引入了高斯级数的概念。他除了证明这些级数的性质外，还通过对它们敛散性的讨论，开创了关于级数敛散性的研究。

　　小约翰代表著作

　　1799年：关于代数基本定理的博士论文(Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra)

　　1801年：数论研究(Disquisitiones Arithmeticae)

　　1809年：天体运动论(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)

　　1827年：曲面的一般研究(Disquisitiones generales circa superficies curvas)

　　1843/44年：高等大地测量学理论(上)(Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie,Teil 1)

　　1846/47年：高等大地测量学理论(下)(Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie,Teil 2)